As 4 equações de Maxwell (1831-1879)

Maxwell, James Clerk (1831-1879), físico britânico que explicou as propriedades do eletromagnetismo. Publicou um conjunto de quatro equações diferenciais nas quais descreve a natureza dos campos eletromagnéticos em termos de espaço e tempo. Introdução A enorme largura do espectro eletromagnético é um dos fatos mais notáveis da natureza. Os relâmpagos de uma tempestade, por exemplo, geram energia eletromagnética cujo comprimento de onda é várias vezes superior ao diâmetro da Terra enquanto os raios gama, emitidos por núcleos atômicos, têm um comprimento de onda de fração de Angstrom (1 Angstrom equivale à 0,1nm ou  0,1.10-9 metro ou 0,0000000001metro). A imensa relação entre esses comprimentos é da ordem de 1022. Apesar disso, as energias emitidas constituem, essencialmente, o mesmo fenômeno - denominado Onda Eletromagnética - propagando-se com a mesma velocidade e sujeitando-se, igualmente, a difração, refração, reflexão, etc. A luz, também uma onda eletromagnética, ocupa apenas um diminuto espaço no espectro eletromagnético, mas sua relevância transcende amplamente esses limites. Sua grande importância está ligada ao fato de os elétrons de valência dos átomos emitirem a absorverem energia nos comprimentos de onda de luz.Para dar somente um exemplo, a reação bioquímica mais importante do nosso Planeta, a fotossíntese, envolve absorção de energia luminosa. No entanto, apesar das inúmeras vantagens potenciais, só recentemente a luz foi incorporada às Aplicações em Telecomunicações, por várias dificuldades tecnológicas em sua implantação.

Características Básicas
A propagação em linha reta é a primeira característica fundamental da luz. Esse fenômeno acontece em todos os meios infinitos e homogêneos e já era conhecido por Platão na Grécia Clássica. Mais recentemente, Einstein previu que a luz caminha em uma trajetória curva, quando em presença de um campo gravitacional. Todavia, essa curvatura, já comprovada experimentalmente, pode ser desprezada em presença da gravidade terrestre, para todos os efeitos práticos. Uma segunda característica é fato de a velocidade da luz no espaço livre (representada pela letra c) ser uma constante universal, ou seja, um observador situado em uma espaçonave, com equipamentos para medir a velocidade da luz, sempre irá obter o mesmo valor para c, independentemente de estar orbitando ou pousando na Terra e para qualquer fonte que tenha emitido luz. Por outro lado, o mesmo não ocorre com freqüência ou com os campos eletromagnéticos, pois estes variam com a velocidade da fonte emissora em relação ao observador. A variação da freqüência com a velocidade de observação e denominada Efeito Doppler e é responsável, por exmplo, pelo aumento da largura espectral dos lasers a gás. O valor de c é dado por:

em que µ₀ é a permeabilidade magnética do espaço livre (ou vácuo) e ₀ é a permissividade elétrica do espaço livre.

Em relação ao valor da velocidade da luz nos meios dielétricos, inicialmente admitiu-se (Descartes e Newton, por exemplo) que a luz tivesse velocidade maior no vidro que no espaço livre. Esse raciocínio seguia a analogia da velocidade de propagação do som é maior, por exemplo, no aço que no ar. Entretanto, os dielétricos atuam no sentido de opor resistência à propagação do meio. Nesse caso, a energia dos campos da luz interage com os elétrons dos átomos do meio, ou deslocando-os harmonicamente de sua posição original ou atuando em seu momento angular. O efeito final dessa interação resulta em uma diminuição da velocidade da luz para um valor igual ao inverso da média geométrica da permissividade elétrica   e da permeabilidade magnética µ do meio, ou seja:

   ; onde e

É importante notar que o valor c é a máxima velocidade com que qualquer energia pode se deslocar no universo, sendo também chamada de velocidade limite.

As equações de Maxwell, mostradas a seguir, constituem o formalismo básico para a análise quantitativa da energia eletromagnética.

As Equações de Maxwell
As equações de Maxwell descrevem transporte, dissipação, armazenamento e geração da energia eletromagnética nos meios materiais ou no espaço livre. Maxwell, ao formular sua teoria no século passado, acreditava que a energia eletromagnética provocava um estado de tensão no meio. A propagação dessa energia dava-se perpendicularmente à direção das tensões elétricas e magnéticas. Por sua vez, a tensão exercida pelo campo magnético era perpendicular à provocada pelo campo elétrico. A onda eletromagnética seria a condição de movimento dessas tensões em um meio especial, chamado Eter, que permeava todo o espaço. Experimentos posteriores, entretanto, não confirmaram a existência do Eter e , modernamente, aceita-se que os campos elétricos e magnéticos tenham existência em si, independentemente da fonte que os gerou ou do meio propagante.

Antes da apresentação formal das equações de Maxwell, far-se-á uma breve introdução aos fasores visto que, para as aplicações em engenharia elétrica ou optoeletrônica, é utilíssimo considerar funções harmônicas que variem senoidalmente no tempo. Essas funções harmônicas são expressas por vetores complexos denominados fasores, conforme exemplo abaixo, apresentado uma componente do campo elétrico, E_x:

em que é a freqüência angular (rad/s), E_x representa a componente do campo na direção de eixo x e especifica a fase do campo. Normalmente, confunde-se Ex(t) com sua expressão complexa E_xe^jvt. Todavia, deve-se tomar o cuidado de usar as expressões que utilizam explicitamente as funções sen vt ao se calcular o produto de dois campos harmônico, como, por exemplo, na detecção heteródina ou em dielétricos não lineares.

 Com o formalismo dos fasores, as equações de Maxwell podem ser expressas por:

 em que:r é a densidade volumétrica de cargas (Coulumb/m³) e j, a densidae de corrente (Ampères/m²).

Asrelações entre os campos elétricos (E) e magnéticos (H) e os campos de deslocamento (D e B) dependem do estado de polarização do meio, caracterizado pelas grandezas e e m, tal que:

As grandezas e e m, serão explicadas gradativamente, ao longo da seção a seguir.

As Fontes Macroscópicas da Energia Eletromagnética

Observando-se as equações de Maxwell, expostas na seção anterior, pode-se notar que, com exceção dos campos E, H, D, B e da freqüência w, aparecem somente mais duas grandezas: a densidade volumétrica de cargas r e a densidade de corrente elétrica J.

Mostra-se, abaixo, que essas grandezas constituem as fontes macroscópicas de energia eletromagnética.

é também origem do campo elétrico E. Por outro lado, analisando-se , pode-se observar que tanto J quanto a variação temporal de D causam o rotacional de H. Como o rotacional é um tipo de variação espacial do H, em uma pequena região, é possível concluir que a densidade de corrente J faz surgir ou variar o campo magnético. (A variação temporal de D, enquanto origem do campo magnético, será tratada posteriormente). Dessa forma, sem pretender maior rigor matemático, podem-se identificar as grandezas macroscópicas

J= r.n

Em que é a velocidade de deslocamento das cargas que constituem r. Considerando-se estas equações, pode-se concluir que a densidade volumétrica de cargas, r, é a fonte do campo elétrico E (através da sua divergência) enquanto o movimento das cargas é a fonte do campo magnético H (através do seu rotacional). Fica agora aparente a afirmação de que os campos variam com a velocidade do observador em relação à fonte, visto que o valor J (que origina H) depende diretamente dessa velocidade.

Cabe observar que na maioria das aplicações, a grandeza r normalmente refere-se aos elétrons ou, macroscopicamente, ao gás eletrônico. O gás eletrônico pode estar presente em uma válvula, nos condutores de uma antena, em uma linha de transmissão etc. Em todos os exemplos referidos, trata-se a densidade eletrônica de cargas, r, como um fluído contínuo que, com seu movimento, provoca a corrente elétrica. Com a tecnologia atual, os dispositivos eletrônicos operam desde frações de Hertz até perto de duzentos bilhões de Hertz (200 GHz), sendo que, quanto maior a freqüência, menor a região ativa do dispositivo. Todavia, para freqüências muito acima de 200 GHz, começa a perder sentido físico a idéia do metal enquanto um condutor. Nesses casos, torna-se necessário tratar a interação elétron-matéria em seus aspectos microcópicos, incluindo as diminutas estruturas com que os elétrons interagem, ou seja, os próprios átomos. Para essas novas situações, as fontes macroscópicas das equações de Maxwell não se aplicam mais. Além disso um fenômeno fundamental novo e não previsto por Maxwell passa a ser importante: o caráter quântico da energia eletromagnética, conforme exposto adiante.

A Quantização da Energia
Ao estudar a radiação eletromagnética devida aos átomos de um sólido aquecido, Max Planck, em 1901, introduziu um novo conceito, obtendo excelente correlação experimental. As teorias clássicas previam que a radiação pelo corpo aquecido aumentava proporcionalmente ao quadrado da freqüência da energia emitida. As observações experimentais mostravam concordância até a faixa do infravermelho, para as teorias clássicas, mas falhavam no ultravioleta. A hipótese de Planck que corrigiu essa discrepância foi muito simples: a energia eletromagnética somente pode existir em quantidades múltiplas de um valor mínimo chamado quantum, que é proporcional à freqüência da energia eletromagnética. Dessa forma, a absorção ou emissão da energia por um átomo não se dá continuamente, ou seja, o átomo emite ou absorve um quantum de energia eletromagnética e cessa, em seguida, sua atividade antes de iniciar um novo ciclo. A essa afirmação pode-se acrescentar dois fatores importantes conhecidos atualmente: primeiro, o tempo de emissão é finito, ocasionando uma largura espectral finita mensurável da energia emitida; segundo, se durante o período em que o átomo estiver emitindo ocorrer algo que o perturbe, como, por exemplo, um choque, o processo de emissão não será interrompido, mas a largura espectral da emissão não será interrompido, mas a largura espectral da emissão aumenta ainda mais. A largura espectral da emissão, medida nos pontos de meia potência, é representada por Dv. Em acréscimo, não se considerando perturbações acima referidas, o espectro de emissão eletromagnética de um átomo é idêntico ao seu espectro de absorção, podendo-se fazer analogia entre um circuito oscilante RLC e um átomo nas condições acima.

As Fontes Microscópicas da Energia Eletromagnética
Ao receber um quantum de energia eletromagnética (o quantum é igual a hv, em que h é a constante de Planck e v é a freqüência), o átomo torna-se excitado e existe um tempo de vida médio (t) durante o qual o átomo permanece no estado excitado. Logo após, ocorre de forma espontânea, segundo um processo estatístico, a emissão da energia que havia sido absorvida. A emissão, porém, pode ocorrer alternativamente por estímulo externo de um campo eletromagnético, sendo que a freqüência do campo externo deve ser igual a uma das freqüências naturais que o átomo excitado pode emitir. Esse último fenômeno é denominado emissão estimulada, havendo coerência de fase entre o campo estimulante externo e o campo emitido pelo átomo. Além disso, a proporção de átomos excitados, que emitem de forma estimulada, cresce com o aumento da intensidade do campo externo. Por outro lado, a emissão espontânea não depende desse campo, sendo este fato uma diferença fundamental entre dois processos supracitados. É interessante notar que o laser é um dispositivo no qual a emissão estimulada supera fortemente a espontânea enquanto na lâmpada fluorescente ocorre o inverso, ou seja, o predomínio da emissão espontânea sobre estimulada.

O modelo físico e a expressão matemática do fenômeno de radiação da energia eletromagnética pelos átomos são dados pela Teoria da Eletrodinâmica Quântica, cujos pioneiros foram Schrodinger e Heisenberg na década de 1920 e pode ser resumida da seguinte forma: os átomos possuem estados quânticos principais nos quais não há irradiação de energia; na mudança de um estado quântico para outro, um átomo radia energia eletromagnética; nesse processo, chamado estado coerente, a probabilidade de distribuição do elétron no átomo (ver figura a seguir); essa oscilação gera um campo eletromagnético que constitui a radiação; a freqüência central da radiação é dada pela condição de Bohr.

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em que DE é a diferença de energia entre dois estados quânticos principais envolvidos e h é a constante de Planck; a radiação possui largura espectral finita e pode ser espontânea ou estimulada, conforme discutido anteriormente. A forma pela qual a nuvem eletrônica do átomo oscila depende do particular estado quântico envolvido. Na transição denominada tipo dipolo, supondo-se polarização vertical, o centro da nuvem eletrônica fica oscilando para 'cima' e para 'baixo' do núcleo de forma que o átomo se torna um dipolo elétrico oscilante na direção vertical z, conforme mostrado na figura a seguir. O período de uma oscilação é h/DE, o que corresponde a um ciclo da onda eletromagnética. A radiação emitida pelo átomo tem distribuição espacial idêntica a uma pequena antena dipolo vertical, ou seja, com um nulo na direção z e com a máxima radiação no plano xy. Existe um outro tipo de radiação, chamado dipolo girante, em que a nuvem gira ao redor do núcleo, emitindo radiação circularmente polarizada no eixo de rotação, linearmente polarizada no plano perpendicular e esse eixo e elipticamente polarizada nas outras direções. As oscilações tipo dipolo, descritas acima, são as mais importantes e freqüentes em óptica, mas existem transições do tipo quadripolo, octupolo etc. que são significativas nos processos de radiação pelos núcleos atômicos. A energia eletromagnética igual a hv, emitida pelo átomo na passagem de um estado quântico para outro, de menor energia, é chamada de fóton. O tempo que o átomo demora para emitir um fóton, ou seja, a permanência no estado coerente (ver figura) é chamado tempo de vida radioativo. Considerando-se, por exemplo, uma freqüência de 520THz (luz amarela) e um tempo de vida radioativo típico de 10^-8 s, o estado coerente emite um fóton com 5.200.000 variações de fase iguais a 2π radianos cada uma.

Fig.1: Estados quânticos estacionários da nuvem eletrônica.

Fig.2: Estado coerente tipo na qual ocorre a emissão eletromagnética. São mostrados os vários formatos da nuvem eletrônica durante um período de transição T.

Na exposição acima, sempre considerou-se somente um átomo. Para uma molécula ou fons cristalinos, a energia radiada é também quantizada. Em acréscimo, a emissão  por um objeto macroscópico é composta pelo conjunto dos fótons emitidos individualmente. O caráter quântico de emissão eletromagnética não é notado somente nas faixas de freqüências ópticas. O hidrogênio interestelar, por exemplo, emite fótons de microondas correspondentes a transições de pequena energia entre estados quânticos elevados (órbitas mais externas dos elétrons), sendo que, em radioastronomia, a detecção na freqüência de 1651Mhz (transição do estado quântico nº 159 para o de nº 158) é importante para o mapeamento das galáxias. Essa oscilação é cerca de 150.000 vezes mais lenta que a luz e é notável que um a´tomo tão pequeno possa gerar um fóton cujo comprimento de onda seja de 18,1 centímetros. Uma vez emitido, o fóton torna-se independente do átomo que o gerou. O mesmo acontece para a energia emitida por uma antena, não havendo diferença, por exemplo, entre a energia emitida pelo hidrogênio da galáxia e aquela de mesma freqüência, radiada por uma antena acoplada a uma válvula de microondas. Dessa forma, as equações de Maxwell podem ser usadas para todas as freqüências da onda eletromagnética. Sua limitação ocorre nos momentos em que os aspectos microscópicos de interação dos campos com a matéria precisam ser considerados. Nesses casos, o tratamento quântico é necessário, todavia, os modelos clássicos, utilizando as equações de Maxwell, podem levar a resultados satisfatórios em uma série enorme de situações.

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